Fungsi dan Grafik - KALKULUS 1


FUNGSI DAN GRAFIK


Assalamualikum wr. Wb.
            Pada postingan kali ini saya akan menjelaskan sedikit materi tentang fungsi dan grafiknya. Semoga bisa membantu teman – teman dalam proses belajarnya, mohon maaf jika ada salah yang sengaja atau tidak sengaja. Mari simak tulisan di postingan dibawah ini.

 Langkah-Langkah Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat
Sebanarnya ada cara yang dapat digunakan untuk menentukan gambaran umum dari grafik sebuah persamaan kuadrat dengan cara melihat nilai determinannya. Nilai Determinan dari sebuah fungsi kuadrat   adalah D = b^{2} - 4ac. Determinan dapat digunakan untuk menyelidiki berapa banyak akar yang dimiliki sebuah persamaan kuadrat. Selain itu, determinan dapat digunakan untuk menentukan jenis akar yang dimiliki suatu persamaan kuadrat.
 Karakteristik grafik berdasarkan nilai determinan:
1.    Jika D > 0 maka persamaan kuadrat memiliki dua akar real berbeda (artinya, grafik akan memotong sumbu x pada dua titik).
2.    Jika D = 0 maka persamaan kudrat memiliki dua akar real kembar (artinya, grafik akan memotong sumbu x pada satu titik).
3.    Jika D < 0 maka persamaan kuadrat memiliki akar yang imaginer/tidak real/akar negatif (artinya, grafik tidak memotong sumbu x).

Nilai  a  (koefisien dari ) dapat memberi gambaran grafik fungsi kuadrat tersebut terbuka ke atas atau ke bawah. Karakteristik grafik berdasarkan nilai :
1.    Jika a > 0 maka grafik akan terbuka ke atas.
2.    Jika a < 0 maka grafik akan terbuka ke bawah.

Gambaran umum Grafik fungsi kuadrat jika dilihat dari nilai a dan D




 Untuk menggambar grafik secara lebih detailnya dapat disimak dalam langkah-langkah berikut.
Langkah-langkah menggambar grafik fungsi kuadrat:
1.    Tentukan titik potong dengan sumbu x (nilai y atau f(x) sama dengan 0).
2.    Tentukan titik potong dengan sumbu y (nilai x = 0).
3.    Menentukan sumbu simetri https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj85NL8kD7Rhn9AtOWTPOSuHWJR34TMGQ2Ra1MBGi_TmJUeKDdXvVTytuDkesI6hcVIpeiy147-jRkbEpm-7zR1sEgBg82fMdgN0glZVawcLfZS7u0CuKOflZz5soNRmJiLUB_CrHyONiV1/s1600/grafik.png.
4.    Menentukan titik puncak https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhHmerhuRob3TnPFOQvGN9RTY9ewi7ZRJs_M6gjWaxbLGE1kiTNT4QG-Z0ptSN1x_jGsgMhc9ZHqMQaHg0yQveYldO8uXUjcPY0ZgSvI9ke_LihfYabe15XNWs7VoHFTEBODRgZTBi3PWGJ/s1600/grafik+2.pngatau hitung nilai puncak y menggunakan substitusi/mengganti nilai x yang diperoleh pada perhitungan nomor 3 ke dalam persamaan f(x).
Empat langkah diatas sudah dapat digunakan untuk menggambar grafik persamaan kuadrat, jika perlu bisa menambahkan beberapa titik koordinat bantu.
Contoh Soal dan Pembahasan
Gambarlah grafik fungsi kuadrat  y = x^{2} - 2x - 8!
Secara sepintas kita akan mengetahui sketsa grafik menggunakan nilai a dan D:
1.    Nilai  a = 1 > 0 artinya grafik akan terbuka ke atas.
2.    Nilai  D = b^{2} - 4ac = (-2)^{2} - 4(1)(-8) = 4 + 32 = 36, nilai D > 0 artinya grafik akan memotong sumbu x pada dua titik.
Sketsa gambarnya kurang lebih akan seperti gambar di bawah.




Secara lebih detail, gambarnya dapat dilihat dengan mengikuti langkah-langkah berikut.
Langkah 1: Tentukan titik potong dengan sumbu x (nilai y atau f(x) sama dengan 0)

\[y=0\]
  \[x^{2} - 2x - 8 = 0\]
  \[(x-4)(x+2) = 0\]
  \[x = 4 \textrm{ atau } x = -2\]
  
Jadi, diperoleh titik potong dengan sumbu x (4, 0) dan (-2, 0).



Langkah 2: Tentukan titik potong dengan sumbu y (nilai x = 0)
  

\[y = x^{2} - 2x - 8\]
  \[y = 0^{2} - 0 - 8\]
  \[y = - 8\]
Jadi, titik potong dengan sumbu y adalah (0, -8).





Langkah 3: Menentukan sumbu simetrihttps://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhFbDAL1YwRy2tSyxnKp0wV2yNNKJhX8z6ADdBrpQbDVnnQQba8Rh20K1SMvdHU7jxfOJAmWY0TkuxwP-yJGG269nDVClvM2Jgf46ZjUhyphenhyphenP8QgX1Yhro0arfPHWizVNjy1Rju5FPvHn7wr9/s1600/grafik.png
\[y = x^{2} - 2x - 8\]
Diketahui: a=1, b=-2, dan c=-8, maka sumbu simetri https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh7D-WmqRyzdaBMAk9fm4HuMhiahRSc2fQGNRQOAlJ4AtAj61WuU1wuMtykuN3OSAMgoEI_-gS3_bs5VWdmMJImyw2ShAW_YZ6Ug5ECyEYEsujGCF4rwv1oJ9TZ031fwZrspampaoGrjWAh/s1600/r.png.





Langkah 4: Menentukan titik puncak  (-\frac{b}{2a}, -\frac{b^{2} - 4ac}{4a})



\[x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2} = 1\]
  \[y=-\frac{b^{2} - 4ac}{4a}=-\frac{(-2)^{2} - 4(1)(-8)}{4(1)} = -\frac{36}{4}=-9\]
atau substitusi nilai x = 1 (hasil perhitungan pada Langkah 3) pada persamaan sehingga diperoleh

\[y = 1^{2} - 2(1) - 8 \]
  \[= 1 - 2 - 8 = - 9\]
Jadi, koordinat titk puncaknya adalah (1, – 9).

 Selanjutnya tinggal menghubungkan titik-titik yang diperoleh sehingga menjadi kurva mulus seperti terlihat pada gambar berikut.



Komentar

Posting Komentar

Postingan Populer